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發表於 2018-7-17 02:57 AM|顯示全部樓層
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今有上等稻3捆、中等稻2捆、下等稻1捆,共打出39斗米;有上等稻2捆、中等稻3捆、下等稻1捆,共打出34斗米;有上等稻1捆、中等稻2捆、下等稻3捆,共打出26斗米。問上等稻、中等稻、下等稻各1捆能打出多少斗米?使用現代人孰悉的代數語言,令 分別代表上等稻、中等稻和下等稻各1捆所能打出的稻米斗數,根據題意寫出三元一次聯立方程組:

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所有積分大於負-100的壞孩子,將可獲得重新機會成為懲罰生,權限跟幼兒生一樣。

兩千年前的中國數學家如何解決這個問題?方程術包含三個技巧:

  • 利用分離係數法,以相當於矩陣的陣列形式來表示線性方程組;
  • 以「直除法」消元得到梯形陣列;
  • 持續消元直到產生對角陣列。

古人的書寫方式係由上而下、從右至左,故方程術訂定的係數排列規則為「置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗,於右方。中、左禾列如右方」,如下所示:

左行 中行 右行

寫出陣列表達即可開始消元化簡。首先,「以右行上禾 (即軸元 ) 遍乘中行而以直除」。注意這裡的「除」是減,「直除」意指將中行連續減去右行,直到中行上禾為零。因為中行上禾是 ,故通乘軸元 之後的中行必須減去2次右行,過程如下:


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發表於 2018-7-17 02:58 AM|顯示全部樓層

方程術所謂的直除法即為高斯消去法的基本列運算 (elementary row operation),兩者的主要差異在於直除法先令中行乘以 才消元。只要所有的係數為整數,「先乘後減」即可避免中間過程產生分數,這不啻是直除法的一個優點 (相關討論見“利用行列式計算矩陣秩”)。接著,「又乘其次 (即左行),亦以直除」。按照同樣方式消去左行上禾,令左行通乘以軸元 ,再減去右行,如下:

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發表於 2018-7-17 02:59 AM|顯示全部樓層

消去中行上禾與左行上禾後,方程術說:「然以中行中禾不盡者 (即軸元 ) 遍乘左行而以直除。」將左行通乘以 ,並四度減去中行 (因為左行中禾是 ),也就是減去中行通乘以 的運算結果,如下:

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發表於 2018-7-17 03:03 AM|顯示全部樓層
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著,「求中禾,以法 (軸元 ) 乘中行下實,而除下禾之實 (即 )」。運用直除法,令中行通乘以 ,再減去左行,即得

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發表於 2018-7-17 03:05 AM|顯示全部樓層
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對應的方程組為 4x=37,4y=17,4z=11。最後,「實皆如法」,將上、中、下實除以法 (三者同有軸元 4),即得到答案,末句「各得一斗」是指用一斗為度量單位。


《九章算術》的方程術是數學史上最早出現的線性方程組解法,這確實是一個偉大的成就。我們在歌頌前人同時,或許也應思考一個問題:方程術已見許多重要的代數運算技巧,為甚麼後人站在巨人的肩膀上卻未能開創一套線性方程理論呢?...
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The two presidents met face to face at a highly anticipated meeting in Helsinki on Monday.

President Trump said he thinks the two countries will end up having "an extraordinary relationship" in a press conference just before the summit.
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通乘以軸元 ,再減去右行,如下:

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我是數學物理高手
數奧物奧國家培訓選手奧林匹亞數學銀牌
英文多益990滿分金狀...
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